Есть вот такая вещь
http://www.mitek.ru/assets/images/E5...AE331297D3.jpg

Такие вещи должны вбиваться в дерево в промышленных условиях.

Некрасиво это железо торчать будет

А если по верху диагональный крест?

с двух сторон можно любой, а с с двух не фига, проход и печка

Может за печку как-то привязаться, ну и кровля тоже жёсткости придаст конструкции, верх будет очень жёсткий, но если низ никак не усиливать и столбы сами по себе не жёстко стоят, а приподняты, я думаю надо опору искать возле печи., т.е. если трубу например зафиксировать жёстко сверху кровлей, то и низу будет жёсткость предана.

Я про этот крест.

А что он даёт в плане жёсткости? Ветер дунул и столбики наклонились. Тут необходима именно жёсткость столбиков, чтоб вертикально стояли и не наклонялись. Они же не закопаны. Грубо табуретка :)

У табуретки ножки не складываются-перемычки и седушка не дают.
В беседке вверху параллельные земле перемычки зафиксировать между стойками-ножками. Кровля даст жесткость, по аналогии с седушкой.
Ножки беседки все одно к земле крепить надо,иначе ветром сдуит.

Я бы предложил следующий вариант - нужно просто объединить все что предлагают.
1 Дополнительные поперечины особой жесткости не придадут, поскольку параллелограм не устойчивая конструкция, поэтому что бы придать ему жесткость нужно его распереть. А вот полученные треугольники и трапеция вполне устойчивы.
2 Как сдесь уже отмечалось жескость в горизонтали в табуретке дает крышка, в нашем случае предлагаю сделать те же укосины.
3. К печи завязываться ни вкоем случае нельзя - даже фундаменты печи и постройки рекомендуется разделять, дабы не было трещин в печи.
4. К земле я бы все же привязался, чтоб в космос не улететь :)